24 02 2024

Revelando los Antiguos Orígenes de los Universos Paralelos

Una frase misteriosa en «Elementos de Euclides»

Una sola frase en uno de los libros de matemáticas más antiguos tenía la clave para comprender el universo. «Elementos de Euclides» se ha publicado en más ediciones que ningún otro libro, con excepción de la Biblia. Fue el texto de referencia por más de 2000 años, pero durante ese tiempo los matemáticos tenían dudas de una sola frase que parecía un error. A la larga, algunos de los mejores matemáticos se dieron cuenta de que, después de todo, Euclides no se equivocó. Pero había más en la historia, pequeños cambios en esta frase abrieron universos nuevos y extraños. Sorprendentemente, 80 años después, descubrimos que esos extraños universos son clave para entender nuestro propio universo.

La obra maestra matemática de Euclides

Around 300 antes de Cristo, el matemático griego Euclides asumió un proyecto enorme: resumir todas las matemáticas conocidas en ese entonces para básicamente crear un solo libro que contuviera todo lo que se sabía de las Matemáticas. Pero no era una tarea fácil. Antes de Euclides, había un pequeño problema con las matemáticas: se demostraban las cosas, pero lo hacían dándole vueltas. Por ejemplo, ¿por qué un triángulo tiene 180 grados? ¿Porque si tomas dos líneas paralelas… Ah, puedes hacer un cuadrado. Pero, ¿por qué existe el cuadrado? Había esta recursividad infinita, la razón fundamental por la que algo es verdadero es como en el diccionario, cada palabra se define en función de otras palabras. ¿Cómo se llega a la verdad fundamental? Euclides usó la solución que introdujeron los griegos: aceptemos que unas cuantas de las cosas más simples y básicas son verdaderas. Estos son nuestros postulados. Con base en los postulados, podemos probar teoremas de uno en uno para construir la matemática usando la lógica. Mientras estas primeras afirmaciones sean verdaderas, todo lo que siga a partir de ellas debe ser definitivamente verdadero. Perfeccionó la regla de oro de las pruebas matemáticas rigurosas en la que se basa toda la matemática moderna.

Los postulados de Euclides y la controversia

Euclides usó este método cuando publicó su serie de 13 libros llamada «Elementos», en la que demostró 465 teoremas cubriendo casi todas las matemáticas conocidas por entonces, incluso geometría y teoría de números. Y todos estos teoremas se basaban en algunas definiciones, unas cuantas nociones comunes y postulados. Vamos directo al libro uno, y este libro empieza en definiciones. Por ahí hay que empezar. Las definiciones son: un punto es lo que no tiene partes, una línea es una longitud sin anchura y los extremos de una línea son puntos. Por línea se refería a una curva, y esta tiene extremos. Una línea recta es aquella que yace igualmente respecto a sus puntos, etcétera. Hizo 23 definiciones y luego están los cinco postulados. Los primeros cuatro son sencillos: uno, si tienes dos puntos, puedes trazar una línea recta entre ellos; dos, toda línea recta se puede prolongar indefinidamente; tres, dado un centro y un radio, se puede trazar un círculo; y cuatro, todos los ángulos rectos son iguales entre sí. El postulado cinco se pone más serio, que es que si una línea recta al incidir sobre dos líneas rectas hace los ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el mismo lado de los ángulos menores a dos ángulos rectos. De qué Rayos está hablando. Es un postulado, los demás son como de media oración y son más que obvios. Y llega el cinco, de repente, y es todo un párrafo. Qué está haciendo esto, hizo sospechar a los matemáticos. Parecía que Euclides se había equivocado.

El legado y la reinterpretación de los postulados de Euclides

El filósofo griego Proclo pensó que el postulado C de debe incluso ser eliminado de los postulados porque es un teorema, pero si es un teorema, deberíamos poder demostrarlo a partir de los primeros cuatro postulados. Y esto fue lo que muchos intentaron, algunos, incluyendo a Tolomeo y Proclo, creyeron que lo habían logrado, pero no era así. De hecho, todo lo que pudieron hacer fue reformular el postulado cinco con otras palabras. Este es uno de esos enunciados: si tienes una recta y un punto que no está en esa recta, entonces hay una única recta que pasa por ese punto y que no corta a la recta original. Eso es lo mismo que el postulado cinco, solo reformulado. Es decir, al principio todos asumieron que el postulado estaba mal escrito, pero lo que aprendieron es que no importa lo que hagas, no puedes probarlo ni deshacerte de él. Al principio todos pensaron que era Euclides quien había cometido un error, pero después se dieron cuenta de que no era un error. Era verdad y los había hecho temblar en sus botas. El postulado quinto es la joya más brillante de los postulados de Euclides, es el más hermoso, y es que realmente no se trata de postularse, se trata de reconocer que es verdad. Lo que hacía Euclides era comprender el espacio.

La expansión de la teoría euclidiana

El matemático indio Bhaskara ya se había enfrentado al postulado cinco y había hecho progresos en su comprensión, y había inventado lo que ahora llamamos geometría no euclidiana. Bhaskara cambió las reglas del juego y se dio cuenta de que el postulado no era una verdad general, pero era una verdad particular. Por ejemplo, si tienes un cuadrado en la esfera, la suma de los ángulos del triángulo es mayor que 180 grados. Eso sí es un verdadero cuadrado. Los ángulos de los triángulos en la geometría de superficie esférica son mayores que 180 grados. Eso es cierto. Eso es lo que dijo Bhaskara, así que en cierto sentido, Bhaskara no estaba refutando a Euclides, estaba ampliando su teoría. Bhaskara no fue el único, varios otros matemáticos notaron que podías modificar un poco el postulado cinco y aún tenías una geometría perfectamente válida.

El impacto revolucionario de la geometría Riemanniana

Y entonces hubo un terremoto, un genio matemático alemán de 29 años llamado Georg Friedrich Bernhard Riemann escribió un paper en el que describía lo que ahora llamamos geometría Riemanniana, una geometría que trata con superficies que se curvan. Riemann se dio cuenta de que el postulado cinco es verdad, solo es verdad en un espacio euclidiano, un espacio plano como el de Euclides. Pero Riemann dio un paso más allá y demostró que hay otros espacios que son tan legítimos como el espacio euclidiano. Por ejemplo, en la geometría esférica, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre mayor que 180 grados. Y es que en la esfera, los triángulos tienen más espacio para existir, así que sus ángulos internos son mayores. ¿Esto tiene que ver con el postulado cinco? Bueno, Riemann demostró que el postulado cinco es verdad, pero no en todos los universos. En algunos universos, sí, y en otros no. Y eso es lo que es tan hermoso. La idea de que existen universos en los que el postulado cinco no es cierto, pero eso no los hace menos verdaderos. Es simplemente una verdad diferente. Fue una idea que cambió completamente la forma en que vemos el mundo, en la que vemos la matemática y el espacio. La matemática ya no era un conjunto de verdades absolutas, era más bien una colección de verdades relativas. Y eso es lo que es tan hermoso. Fue una idea que cambió completamente la forma en que vemos el mundo, en la que vemos la matemática y el espacio. La matemática ya no era un conjunto de verdades absolutas, era más bien una colección de verdades relativas. Y eso es lo que cambió todo, cambió nuestra comprensión del espacio y cambió nuestra comprensión del universo. Y todo comenzó con una sola frase en uno de los libros de matemáticas más antiguos que jamás se hayan escrito.